Question

【题目】已知a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞2x﹣2a．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，

∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．

于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	单调递减	2（1﹣ln2+a）	单调递增

故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），

f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a）

（2）证明：设g（x）=ex﹣2x+2a，x＞0，

于是g′（x）=ex﹣2，x＞0．

由（1）知，当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，

g（x）最小值为g（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（a﹣ln2+1）．

于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（ln2）＞0．

从而，当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞2x﹣2a

【解析】（1）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间及极值；（2）设g（x）=ex﹣2x+2a，x＞0，于是g′（x）=ex﹣2．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g（x）最小值为g（ln2）=2（1﹣ln2+a）．于是当a＞ln2﹣1且x＞0时，都有g（x）＞0，即ex＞2x﹣2a．
【考点精析】通过灵活运用函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．