Question

在平面直角坐标系中，点P到两点F1(0，-

2

)，F2(0，

3

)的距离之和等于4，动点P的轨迹为曲线．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线y=kx+l与曲线C交于A，B两点，当OA⊥OB时，（O为坐标原点），求k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由题意可知动点P的轨迹为椭圆，并求得半焦距及长半轴，再由b²=a²-c²求得b，则曲线C的方程可求；
（2）联立直线和椭圆，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，求出两点纵坐标的积，再由OA⊥OB可得

OA

•

OB

=0．
代入根与系数的关系求得k值．

解答： 解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以F₁（0，-

3

），F₂（0，

3

）为焦点，长半轴为2的椭圆，
则它的短半轴b=

22-( 3 )2

=1，
∴曲线C的方程为x2+

y2

4

=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

，消去y并整理得（4+k²）x²+2kx-3=0，
故x1+x2=-

2k

4+k2

，x1x2=-

3

4+k2

．
y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=k2•(-

3

4+k2

)+k•(-

2k

4+k2

)+1=

4-4k2

4+k2

．
∵OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=0．
则x1x2+y1y2=-

3

4+k2

+

4-4k2

4+k2

=0，
解得：k=±

1

2

．

点评：本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．