Question

8．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{OA}$=10．
（1）求此抛物线C的方程．
（2）过点（4，0）作直线l交抛物线C于M、N两点，求证：OM⊥ON．

Answer 1

分析 （1）设A点坐标，求得$\overrightarrow{FM}$，由$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{OA}$=10，代入即可求得p的值，求得抛物线C的方程；
（2）（Ⅱ）讨论当直线l斜率不存在时，求出A，B坐标，可得OA⊥OB；当直线l斜率存在时，设l：y=k（x-4），联立抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，化简整理即可得证．

解答 解：（1）根据题意，设抛物线C的方程为y²=2px（p＞0），
由抛物线上一点M的横坐标为2，设A（2，y₀），
∴y₀²=4p，…（1分）
由F（$\frac{p}{2}$，0），则$\overrightarrow{FM}$=（2-$\frac{p}{2}$，y₀），
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{OA}$=4-p+y₀²=4+3p=10，…（3分）
解得：p=2，
所以抛物线C的方程为：y²=4x；      …（5分）
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，此时l的方程是：x=4，则M（4，4），N（4，-4）
因此$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
∴OM⊥ON；…（7分）
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是y=k（x-4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
因此$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=16
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²，
=16（1+k²）-32k²-16+16k²=0，
∴$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，
综上，OM⊥ON成立．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，以及直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查向量数量积的坐标表示，和向量垂直的条件，属于中档题．