Question

已知函数图象上一点处的切线方程为．

(Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；

（Ⅲ）令，若的图象与轴交于，(其中)，的中点为，求证：在处的导数．

Answer 1

（1）（2）（3）

解析:

（Ⅰ），，．

∴，且．   

解得．                          

（Ⅱ），令，

则，令，得（舍去）．

在内，当时，， ∴ 是增函数；

当时，，   ∴  是减函数        

则方程在内有两个不等实根的充要条件是

即．                               

（Ⅲ），．

假设结论成立，则有

①－②，得． 

∴．     

由④得，

∴                  

即，即．⑤         

令，（)，   

则＞0．∴在上增函数， ∴，

∴⑤式不成立，与假设矛盾．

∴．