本试题主要考查了下年垂直的判定和二面角的求解。第一问中
要证线面垂直,利用线面垂直的判定定理可以得到。第二问中,利用
=
,以点D为坐标原点,以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系
为平面PBE的法向量.
为平面ABCD的法向量,利用向量的夹角公式得到结论
解:(1)证法1:连结AC与BD交于点F,连结NF,
∵F为BD的中点,∴NF∥PD且NF=
PD.
又EC∥PD,且EC=
PD,(2分)
∴NF∥EC,且NF=EC,∴四边形NFCE为平行四边形,
∴NE∥FC.(4分)
∵DB⊥AC,PD⊥平面ABCD,AC?面ABCD,∴AC⊥PD.
又PD∩BD=D,∴AC⊥面PBD,∴NE⊥面PDB.(6分)
证法2:以点D为坐标原点,以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示:设该简单组合体的底面边长为1,PD=a,
则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,a),E(0,1,
),N(
,
,
),
∴
=(
,-
,0),
=(1,1,-a),
=(1,1,0).
∵
·
=
×1-
×1-a×0=0,
·
=
×1-
×1+0×0=0,
∴EN⊥PB,EN⊥DB.
∵PB、DB?面PDB,且PB∩DB=B,∴NE⊥面PDB.(6分)
(2)解法1:连结DN,由(1)知NE⊥面PDB,∴DN⊥NE.
∵
=
,DB=
AD,∴PD=DB,∴DN⊥PB,∴
为平面PBE的法向量.
设AD=1,则N(
,
,
),∴
=(
,
,
).
∵
为平面ABCD的法向量,
=(0,0,
),(10分)
设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ,则
cosθ=
=
=
,
∴θ=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)
解法2:延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB,
则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)
∵PD=2EC,∴CD=CG=CB,
∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上,
∴DB⊥BG.(9分)
∵PD⊥平面ABCD,BG?面ABCD,
∴PD⊥BG,且PD∩DB=D,∴BG⊥面PDB.
∵PB?面PDB,∴BG⊥PB,
∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)
在
Rt△PDB中,∵PD=DB,
∴∠PBD=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)