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已知a∈R,
命题p:实系数一元二次方程x2+ax+2=0无实根;
命题q:存在点(x,y)同时满足x2+y2=4且(x+a)2+y2=1.
试判断:命题p是命题q的什么条件(充分、必要、充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要条件)?请说明你的理由.
【答案】分析:若命题p为真,由△<0可求得a的范围;若命题q为真,由二圆的图象可求得a的范围,从而可得集合A,B,可判断命题p是命题q的什么条件.
解答:解:若命题p为真,可得△=a2-8<0⇒a∈(-2,2)(4分)
若命题q为真,由图可知圆x2+y2=4和圆(x+a)2+y2=1有交点,

a∈[-3,-1]∪[1,3],
若令集合A=(-2,2),集合B=[-3,-1]∪[1,3],(9分)
可知集合A和集合B之间互不包含,于是命题p是命题q的既不充分也不必要条件.(12分)
点评:本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,求得命题p与命题q正确时对应的a的范围构成集合是判断的关键,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知a∈R,
命题p:实系数一元二次方程x2+ax+2=0的两根都是虚数;
命题q:存在复数z同时满足|z|=2且|z+a|=1.
试判断:命题p和命题q之间是否存在推出关系?请说明你的理由.

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