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【题目】如图,梯形ABEF中,AF∥BE,AB⊥AF,且AB=BC=AD=DF=2CE=2,沿DC将梯形DCFE折起,使得平面DCFE⊥平面ABCD.
(1)证明:AC∥平面BEF;
(2)求三棱锥D﹣BEF的体积;
(3)求直线AF与平面BDF所求的角.

【答案】
(1)证明:如图,取BF的中点M,设AC与BD交点为O,连接MO,ME.

由题设知,CE DF,MO DF,∴CE MO,

∴四边形OCEM为平行四边形,∴EM∥CO,即EM∥AC.

又AC平面BEF,EM平面BEF,

∴AC∥平面BEF


(2)解:∵平面CDFE⊥平面ABCD,平面CDFE∩平面ABCD=DC,BC⊥DC,

∴BC⊥平面DEF.

∴三棱锥D﹣BEF的体积为:


(3)解:∵平面CDFE⊥平面ABCD,平面CDFE∩平面ABCD=DC,

又FD⊥CD,∴FD⊥平面ABCD,

又AC平面ABCD,∴AC⊥DF

又在正方形ABCD中,AC⊥BD,BD∩DF=D,∴AC⊥平面BDF,

连结FO,∵AF与平面BDF所成角为∠AFO,又AB=AD=DF=2,

∴直线AF与平面BDF所求的角为


【解析】(1)取BF的中点M,设AC与BD交点为O,连接MO,ME,推导出四边形OCEM为平行四边形,从而EM∥AC,由此能证明AC∥平面BEF.(2)推导出BC⊥平面DEF,从而三棱锥D﹣BEF的体积为 ,由此能求出结果.(3)推导出FD⊥平面ABCD,AC⊥DF,AC⊥平面BDF,连结FO,则AF与平面BDF所成角为∠AFO,由此能求出直线AF与平面BDF所求的角的大小.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行),还要掌握空间角的异面直线所成的角(已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则)的相关知识才是答题的关键.

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收入x (万元)

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

支出y (万元)

6.2

7.5

8.0

8.5

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