分析 (1)由数列{an}为等差数列,设公差为d,表示出an+Sn,代入已知等式整理即可得证;
(2)根据第一问确定出的an+Sn通项公式,求出a1的值,得到数列{bn}的通项公式,进而确定出数列{nbn}的前n项和为Tn即可.
解答 (1)证明:∵数列{an}为等差数列,设公差为d,
由an+Sn=An2+Bn+C,
得a1+(n-1)d+na1+$\frac{1}{2}$n(n-1)d═An2+Bn+C,
∵对任意正整数n都成立,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}d-A=0}\\{{a}_{1}+\frac{1}{2}d-B=0}\\{{a}_{1}-d-C=0}\end{array}\right.$,
∴3A-B+C=0;
(2)解:∵an+Sn=$\frac{1}{2}$n2-$\frac{3}{2}$n+1,
∴a1=-$\frac{1}{2}$,
当n≥2时,an-1+Sn-1=-$\frac{1}{2}$(n-1)2-$\frac{3}{2}$(n-1)+1,
∴2a1-an-1=-n-1,
∴2(an+n)=an-1+n-1,
∴bn=$\frac{1}{2}$bn-1,n≥2,
∵b1=a1+1=$\frac{1}{2}$,
∴数列{bn}是首项为$\frac{1}{2}$,公比为$\frac{1}{2}$的等比数列,
∴bn=($\frac{1}{2}$)n,即nbn=$\frac{n}{{2}^{n}}$,
∴Tn=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$①,$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$②,
①-②得:$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{1}{2}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}-n}{{2}^{n+1}}$,
则Tn=$\frac{{2}^{n}-n}{{2}^{n}}$.
点评 此题考查了数列的求和,等差、等比数列的性质,以及数列的递推式,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.
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A. | $\frac{π}{16}$ | B. | $\frac{π}{8}$ | C. | $1-\frac{π}{8}$ | D. | $1-\frac{π}{16}$ |
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A. | -1 | B. | 0 | C. | 1 | D. | -2 |
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