Question

16．数列{a_n}的前n项和为S_n，存在常数A，B，C，使得a_n+S_n=An²+Bn+C对任意正整数n都成立．
（1）若数列{a_n}为等差数列，求证：3A-B+C=0；
（2）若A=-$\frac{1}{2}$，B=-$\frac{3}{2}$，C=1，设b_n=a_n+n，数列{nb_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}为等差数列，设公差为d，表示出a_n+S_n，代入已知等式整理即可得证；
（2）根据第一问确定出的a_n+S_n通项公式，求出a₁的值，得到数列{b_n}的通项公式，进而确定出数列{nb_n}的前n项和为T_n即可．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}为等差数列，设公差为d，
由a_n+S_n=An²+Bn+C，
得a₁+（n-1）d+na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d═An²+Bn+C，
∵对任意正整数n都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}d-A=0}\\{{a}_{1}+\frac{1}{2}d-B=0}\\{{a}_{1}-d-C=0}\end{array}\right.$，
∴3A-B+C=0；
（2）解：∵a_n+S_n=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+1，
∴a₁=-$\frac{1}{2}$，
当n≥2时，a_n-1+S_n-1=-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{3}{2}$（n-1）+1，
∴2a₁-a_n-1=-n-1，
∴2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
∴b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1，n≥2，
∵b₁=a₁+1=$\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，即nb_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$①，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$②，
①-②得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}-n}{{2}^{n+1}}$，
则T_n=$\frac{{2}^{n}-n}{{2}^{n}}$．

点评 此题考查了数列的求和，等差、等比数列的性质，以及数列的递推式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．