【题目】已知三棱柱中,,,,,,分别为棱的中点
(1)求证:
(2)求直线与所成的角
(3)若为线段的中点,在平面内的射影为,求
【答案】(1)见解析;(2)45°;(3).
【解析】
(1)由AC⊥AB,AC⊥AA1即可得出AC⊥平面ABB1A1,于是AC⊥A1B;
(2)以A为原点建立坐标系,求出和 的坐标,计算cos即可得出直线EF与A1B所成的角;
(3)求出和平面EFG的法向量,则sin∠HA1A=|cos,|.
(1)∵AA1⊥底面ABC,AC平面ABC
∴AC⊥AA1.
∵∠BAC=90°,∴AC⊥AB.
又A1A平面AA1B1B,AB平面AA1B1B,A1A∩AB=A,
∴AC⊥平面A1ABB1.
∵A1B平面A1ABB1,
∴AC⊥A1B.
(2)以A为原点建立空间直角坐标系A—xyz,如图所示:
则A1(0,0,1),,,.
∴,.
∴.
直线EF与A1B所成的角为45°.
(3),,.(0,0,1).
设平面GEF的法向量为(x,y,z),
则 ,∴
令,则.
∴cos.
∵A1在平面EFG内的射影为H,∴∠HA1A为AA1与平面EFG所成的角的余角,
∴cos∠HA1A=|cos|.
∴∠HA1A.
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【题目】已知函数,且.
(1)求实数的值;
(2)判断函数在区间上的单调性,并用函数单调性的定义证明;
(3)求实数的取值范围,使得关于的方程分别为:
①有且仅有一个实数解;②有两个不同的实数解;③有三个不同的实数解.
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【题目】已知函数(其中,,,是实数常数,).
(1)若,函数的图象关于点成中心对称,求,的值;
(2)若函数满足条件(1),且对任意,总有,求的取值范围;
(3)若,函数是奇函数,,,且对任意时,不等式恒成立,求负实数的取值范围.
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【题目】垃圾种类可分为可回收垃圾,干垃圾,湿垃圾,有害垃圾,为调查中学生对垃圾分类的了解程度某调查小组随机抽取了某市的名高中生,请他们指出生活中若干项常见垃圾的种类,把能准确分类不少于项的称为“比较了解”少于三项的称为“不太了解”调查结果如下:
项 | 项 | 项 | 项 | 项 | 项 | 项以上 | |
男生(人) | |||||||
女生(人) |
(1)完成如下列联表并判断是否有的把握认为了解垃圾分类与性别有关?
比较了解 | 不太了解 | 合计 | |
男生 | ________ | ________ | ________ |
女生 | ________ | ________ | ________ |
合计 | ________ | ________ | ________ |
p>
(2)抽取的名高中生中按照男、女生采用分层抽样的方法抽取人的样本.
(i)求抽取的女生和男生的人数;
(ii)从人的样本中随机抽取两人,求两人都是女生的概率.
参考数据:
,.
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【题目】某超市试销某种商品一个月,获得如下数据:
日销售量(件) | |||||
频率 |
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),超市决定正式营销这种商品.设某天超市开始营业时有该商品件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于件,则当天进货补充至件,否则不进货.将频率视为概率.
求当天商品进货的概率.
记为第二天开始营业时该商品的件数.
求得分布列.
求得数学期望与方差.
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【题目】抛物线C的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,抛物线C过点A(4,4),过抛物线C的焦点F作倾斜角等于45°的直线l,直线l交抛物线C于M、N两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)求线段MN的长.
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【题目】已知椭圆的右焦点为,设直线与轴的交点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,为线段的中点.
(1)若直线的倾斜角为,求的值;
(2)设直线交直线于点,证明:直线.
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