Question

在公差为d的等差数列{a_n}中，已知a₁＝10，且a_1,2a₂＋2,5a₃成等比数列．
(1)求d，a_n；
(2)若d＜0，求|a₁|＋|a₂|＋|a₃|＋…＋|a_n|.

Answer 1

(1) d＝－1, a_n＝－n＋11(n∈N^*)或d＝4,a_n＝4n＋6(n∈N^*);(2)

解析试题分析：(1)由已知可得再由a_1,2a₂＋2,5a₃成等比数列得到：将通项代入即可得到关于d的方程，解此方程即可获得d的值，将d的值代入通项中即可获得；(2)求数列各项的绝对值和，关键在于弄清哪些项是正，哪些项是负后用绝对值的定义去掉绝对值符号转化为等差数列前n项和的问题来加以解决，注意由分类讨论解决.
试题解析：(1)由题意得，a₁·5a₃＝(2a₂＋2)²，              1分
由a₁＝10，{a_n}为公差为d的等差数列得，d²－3d－4＝0，
解得d＝－1或d＝4                  3分
所以a_n＝－n＋11(n∈N^*)或a_n＝4n＋6(n∈N^*)        5分
(2)设数列{a_n}的前n项和为S_n.
因为d＜0，由(1)得d＝－1，a_n＝－n＋11，          6分
所以当n≤11时，
|a₁|＋|a₂|＋|a₃|＋…＋|a_n|＝S_n＝－n²＋n        8分
当n≥12时，
|a₁|＋|a₂|＋|a₃|＋…＋|a_n|＝－S_n＋2S₁₁＝n²－n＋110   11分
综上所述，
|a₁|＋|a₂|＋|a₃|＋…＋|a_n|＝            12分
考点：1.等差数列与等比数列;2.数列的前n项和.