Question

已知椭圆C的两个焦点为F1(-2

2

，0)，F2(2

2

，0)，P为椭圆上一点，满足∠F₁PF₂=60°．
（1）当直线l过F₁与椭圆C交于M、N两点，且△MF₂N的周长为12时，求C的方程；
（2）求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的定义，知|MF₁|+|MF₂|=2a，|NF₁|+|NF₂|=2a，两式相加得三角形的周长，从而求得a，b的值；得椭圆C的方程．
（2）在△PF₁F₂中，由余弦定理，得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2•|PF₁|•|PF₂|•cos60°，从而得|PF₁|•|PF₂|的值；再由正弦定理的推论，求得△PF₁F₂的面积．

解答：解：（1）如图所示，
由椭圆的定义，知|MF₁|+|MF₂|=2a，|NF₁|+|NF₂|=2a，
∴（|MF₁|+|MF₂|）+（|NF₁|+|NF₂|）=4a；
即|MN|+|MF₂|+|NF₂|=4a=12，∴a=3；
又c=2

2

，∴b=1；所以，椭圆C的方程为

x2

9

+y2=1．
（2）在△PF₁F₂中，根据余弦定理，|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2•|PF₁|•|PF₂|•cos60°；
∴（2c）²=（|PF₁|+|PF₂|）²-3•|PF₁|•|PF₂|=（2a）²-3•|PF₁|•|PF₂|；
∴32=36-3•|PF₁|•|PF₂|；即|PF1|•|PF2|=

4

3

，
所以，S△PF1F2=

1

2

•|PF1|•|PF2|•sin600=

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

．

点评：本题考查了椭圆的定义以及正弦定理、余弦定理的应用，解题时应结合图形，认真分析，细心解答．