Question

如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，过作垂直交于点，作垂直交于点，平面交于点，且，.

（1）试证明不论点在何位置，都有；
（2）求的最小值；            
（3）设平面与平面的交线为，求证：.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）先证明平面，再由平面得到；（2）将侧面和侧面沿着展开至同一平面上，利用、、三点共线结合余弦定理求出的最小值，即线段的长度；（3）先证平面，然后利用直线与平面平行的性质定理证明.
试题解析：（1）底面是正方形，，
底面，面，，
又，平面,
不论点在何位置都有平面，
；
（2）将侧面绕侧棱旋转到与侧面在同一平面内，如下图示，

则当、、三点共线时，取最小值，这时，的最小值即线段的长，
设，则，
在中，，，
在三角形中，有余弦定理得：
，
；
（3）连结，，，，，

又，，，，，
，，
又面，平面，
平面平面，.