Question

5．欧阳修的《卖油翁》中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是半径为3cm的圆，中间有一正方形的钱孔，随机向铜钱上滴三滴油（油滴的大小忽略不计），至少有一滴油落入孔中的概率是$\frac{7}{8}$，则正方形钱孔的边长是$\frac{3}{2}\sqrt{2π}$．

Answer 1

分析 设随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），油落入孔中的概率是P，结合已知可得P=$\frac{1}{2}$，设正方形钱孔的边长是a，代入几何概型概率计算公式，可得答案．

解答 解：∵设随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），油落入孔中的概率是P，
则随机向铜钱上滴三滴油（油滴的大小忽略不计），至少有一滴油落入孔中的概率是$\frac{7}{8}$，
则随机向铜钱上滴三滴油（油滴的大小忽略不计），三滴均落在孔外的概率是1-$\frac{7}{8}$=$\frac{1}{8}$，
即（1-P）³=$\frac{1}{8}$，
解得：P=$\frac{1}{2}$，
设正方形钱孔的边长是a，则$\frac{{a}^{2}}{π•{3}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得：a=$\frac{3}{2}\sqrt{2π}$，
故答案为：$\frac{3}{2}\sqrt{2π}$

点评 本题考查的知识点是几何概型，对立事件概率减法公式，相互独立事件概率乘法公式，难度中档．