Question

函数f（x）=x-alnx-2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）a=1时，不等式f（x）+（b+1）f′（x）＜x-1对x＞1恒成立，求正整数b的取值集合．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，x∈（0，+∞），再讨论a的取值范围，从而求出其单调区间；
（Ⅱ）a=1时，原不等式?（x-lnx-2）+（b+1）•

x-1

x

＜x-1?b＜

1+xlnx

x-1

，构造函数g（x）=

1+xlnx

x-1

（x＞1），则g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

=

f(x)

(x-1)2

由第（1）问知，f（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上递增，而f（3）=1-ln3＜0，f（4）=2-ln4=2（lne-ln2）＞0，可推出f（x）在（3，4）上有唯一零点x₀，f（x₀）=x₀-lnx₀-2⇒lnx₀=x₀-2，再由的范围，求出b的值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，x∈（0，+∞），
当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞），
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=0，
x∈（0，a）时，f（x）单调递减，
x∈（a，+∞）时，f（x）单调递增；
综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）上递增，无减区间，
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）；
（Ⅱ）a=1时，f（x）=x-lnx-2，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

．
x＞1时，原不等式?（x-lnx-2）+（b+1）•

x-1

x

＜x-1?（b+1）•

x-1

x

＜lnx+1，b+1＜（lnx+1）•

x

x-1

，
b＜

xlnx+x-x+1

x-1

?b＜

1+xlnx

x-1

，
设g（x）=

1+xlnx

x-1

（x＞1），则g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

=

f(x)

(x-1)2

由第（1）问知，f（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上递增，而f（3）=1-ln3＜0，f（4）=2-ln4=2（lne-ln2）＞0
∴f（x）在（3，4）上有唯一零点x₀，f（x₀）=x₀-lnx₀-2⇒lnx₀=x₀-2
∴1＜x＜x₀时g′（x）＜0，x＞x₀时g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，x₀）上递减、在（x₀，+∞）上递增，
则x＞1时，g（x）_min=g（x₀）=

1+x0lnx0

x0-1

=

1+x0(x0-2)

x0-1

=x₀-1，
由b＜

1+xlnx

x-1

恒成立得b＜x₀-1，又3＜x₀＜4知2＜x₀-1＜3，
又b是正整数，则b的取值集合是{1，2}

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．