Question

设函数f（x）对于x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）说明函数f（x）是奇函数还是偶函数？
（2）探究f（x）在[-3，3]上是否有最值？若有，请求出最值，若没有，说明理由；
（3）若f（x）的定义域是[-2，2]，解不等式：f(log2x)+f(log4x-4)＜2．

Answer 1

分析：（1）在恒等式中，用赋值法，可得f（0）的值，再令y=-x，变形可得f（x）+f（-x）=f（0），即可判断出函数的奇偶性；
（2）设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，结合（1）的结论，应用单调性的定义可得f（x）为减函数，即可得f（x）在[-3，3]上的最大值与最小值分别为f（3）、f（-3），借助f（x+y）=f（x）+f（y）与f（1）的值，即可求得得f（3）、f（-3）的值，从而得到f（x）在[-3，3]上的最值；
（3）利用恒等式将不等式变形为f（-log₂x）＜f（-1），再应用（2）中得到的函数的单调性去掉“f”，列出关于x的不等式组，求解即可得到不等式的解集．

解答：解：（1）∵函数f（x）对于x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令y=x=0，则有f（0）=0，
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；    
（2）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁），
∴f（x）在R上是减函数，则在[-3，3]上也是减函数，
∴f（x）当x=-3时有最大值f（-3），当x=3时有最小值f（3），
∵f（1）=-2，
∴f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，
∴f（-3）=-f（3）=6
∴当x=-3时，f（x）有最大值6，当x=3时，f（x）有最小值-6．
（3）∵f（1）=-2，且f（x）是奇函数，
∴f（-1）=-f（1）=2，
根据f（x+y）=f（x）+f（y），则f(log2x)+f(log4x-4)=f(log2x+log22x-4)=f(log2x+log2x-2)=f(log2x-1)，且2=f（-1），
∴不等式f(log2x)+f(log4x-4)＜2转化为f（-log₂x）＜f（-1），
由（2）可知，f（x）在[-2，2]上是单调减函数，
∴

-2≤log2x≤2 -2≤log2x-2≤2 -log2x＞-1

，解得，

1

2

≤x≤2，
∴不等式f(log2x)+f(log4x-4)＜2的解集为[

1

2

，2)．

点评：本题考查的是抽象函数及其应用，涉及到了函数的奇偶性与单调性的证明和利用函数的单调性求最值，对于函数的奇偶性和单调性的证明一般选用定义法．本题的难点在于根据f（x+y）=f（x）+f（y），运用特殊值法，分析得到函数f（x）的性质以及函数值．属于中档题．