Question

已知函数f(x)=(

x

+

2

)2(x＞0)，设正项数列a_n的首项a₁=2，前n 项和S_n满足S_n=f（S_n-1）（n＞1，且n∈N^*）．
（1）求a_n的表达式；
（2）在平面直角坐标系内，直线l_n的斜率为a_n，且l_n与曲线y=x²相切，l_n又与y轴交于点D_n（0，b_n），当n∈N^*时，记dn=

1

4

|

Dn+1Dn

|-1，若Cn=

d 2 n+1 + d 2 n

2dn+1dn

，求数列c_n的前n 项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由Sn=(

Sn-1

+

2

)2知

Sn

-

Sn-1

=

2

，所以数列{

Sn

}是以

2

为公差的等差数列．由此能求出a_n=4n-2（n∈N^*）．
（2）设l_n：y=a_nx+b_n，由

y=anx+bn y=x2

?x2-anx-b n=0，由方程有相等实根，知△=a_n²+4b_n=0，所以bn=-

1

4

an2=-

1

4

(4n-2)2=-（2n-1）²，由此能够求出T_n．

解答：解：（1）由Sn=(

Sn-1

+

2

)2得：

Sn

-

Sn-1

=

2

，所以数列{

Sn

}是以

2

为公差的等差数列．
∴

Sn

=

2

n，S_n=2n²，a_n=S_n-S_n-1=4n-2（n≥2），又a₁=2．∴a_n=4n-2（n∈N^*）
（2）设l_n：y=a_nx+b_n，由

y=anx+bn y=x2

?x2-anx-b n=0，
据题意方程有相等实根，
∴△=a_n²+4b_n=0，
∴bn=-

1

4

an2=-

1

4

(4n-2)2=-（2n-1）²，
当n∈N⁺时，dn=

1

4

|bn-bn+1|-1=

1

4

|-(2n-1)2+(2n+1)2|-1=2n-1，
∴Cn=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(4n2-1)

=

8n2+2

2(4n2-1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=n+(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=n+1-

1

2n+1

=

2n2+3n

2n+1

．

点评：本题考查数列和函数的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．