Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，BB₁=2

3

，D为AC上的动点．
（Ⅰ）求五面体A-BCC₁B₁的体积；
（Ⅱ）当D在何处时，AB₁∥平面BDC₁，请说明理由；
（Ⅲ）当AB₁∥平面BDC₁时，求证：平面BDC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（I）由已知可得五面体是四棱锥A-BCC₁B₁，且正三角形ABC 的高就是这个四棱锥A-BCC₁B₁ 的高，代入棱锥体积公式，可得答案．
（II）连接B₁C交BC₁于O，连结DO，由三角形中位线定理可得OD∥AB₁，进而由线面平行的判定定理，可得AB₁∥平面BDC₁，即当点D为AC中点时，AB₁∥BDC₁平面
（III）由（Ⅱ）可知当AB₁∥平面BDC₁时，D为AC的中点，结合等腰三角三线合一，及正棱柱的几何特征，可分别得到⊥AC，CC₁⊥BD，进而由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理得到平面BDC₁⊥平面ACC₁A₁．

解答： 解：（I）如图可知五面体是四棱锥A-BCC₁B₁，
∵侧面 BCC₁B₁垂直于底面ABC，
∴正三角形ABC 的高h=

3

就是这个四棱锥A-BCC₁B₁ 的高，
又AB=2，BB₁=2

3

，．
于是 V 四棱形A-BCC1B1 =

1

3

S 矩形BCC1B1×h=

1

3

×2

3

×2×

3

=4．…4分
（Ⅱ）当点D为AC中点时，AB₁∥BDC₁平面．
证明：连接B₁C交BC₁于O，连结DO，
∵四边形BCC₁B₁是矩形，
∴O 为B₁C中点，点D为AC中点
∴OD∥AB₁，
∵AB₁?平面BDC₁，OD?平面BDC₁，
∴AB₁∥平面BDC₁，
故D为AC的中点时满足要求．               …8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当AB₁∥平面BDC₁时，D为AC的中点．
∵△ABC为正三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
由CC₁⊥平面ABC，BD?平面ABC
∴CC₁⊥BD
又∵AC∩CC₁=C，AC，CC₁?平面ACC₁A₁． 
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
又BD?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面ACC₁A₁．             …12分

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积公式，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间线面垂直及线面平行的判定定理，性质及几何特征是解答的关键．