Question

14．已知定义y=log_（x+1）F（x，y），若e＜x＜y，证明：F（x-1，y）＞F（y-1，x）

Answer 1

分析 通过对数与指数之间的关系可知问题转化为证明x^y＞y^x，变形后即证$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{lny}{y}$，通过构造函数h（x）=$\frac{lnx}{x}$，利用导数知识可知函数h（x）在区间（e，+∞）上单调递减，进而可得结论．

解答 证明：∵y=log_（x+1）F（x，y），
∴F（x，y）=（1+x）^y，
∴F（x-1，y）=x^y，F（y-1，x）=y^x，
依题意，问题转化为证明x^y＞y^x，
即证ylnx＞xlny，即证$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{lny}{y}$，
记h（x）=$\frac{lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∵当x＞e时，h′（x）＞0，
∴函数h（x）在区间（e，+∞）上单调递减，
又∵e＜x＜y，
∴h（x）＞h（y），
即F（x-1，y）＞F（y-1，x）．

点评 本题考查不等式的证明，涉及函数单调性等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．