分析 (1)利用椭圆C过焦点$(0,\sqrt{3}),(0,-\sqrt{3})$,离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,求出c,a,可得b,即可求椭圆C的标准方程;
(2)设出直线l的方程,A,B的坐标,联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理表示出x1+x2,利用直线方程表示出y1+y2,然后利用$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$)求得$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$)的坐标,设出P的坐标,然后联立方程消去参数k求得x和y的关系式,P点轨迹可得.
解答 解:(1)由题意,c=$\sqrt{3}$,$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∴a=2,
∴b=1,
∴椭圆C的标准方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1;
(2)设P(x,y)是所求轨迹上的任一点,
①当斜率存在时,直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
椭圆:4x2+y2-4=0
由直线l:y=kx+1代入椭圆方程得到:
(4+k2)x2+2kx-3=0,
x1+x2=-$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$,y1+y2=$\frac{8}{4+{k}^{2}}$,
由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$)得:(x,y)=$\frac{1}{2}$(x1+x2,y1+y2),
即:x=-$\frac{k}{4+{k}^{2}}$,y=$\frac{4}{4+{k}^{2}}$
消去k得:4x2+y2-y=0
当斜率不存在时,AB的中点为坐标原点,也适合方程,
所以动点P的轨迹方程为:4x2+y2-y=0.
点评 本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识,以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.
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A. | 30° | B. | 60° | C. | 30°或60° | D. | 60°或120° |
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