Question

19．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AB=2，AA₁=1，E为C₁D₁的中点．
（1）在所给图中画出平面ABD₁与平面B₁CE的交线（不必说明理由）
（2）证明：BD₁∥平面B₁CE；
（3）求点C₁到平面B₁CE的距离．

Answer 1

分析 （1）连接BC₁，即为平面ABD₁与平面B₁CE的交线；
（2）设BC₁∩B₁C=O，连接EO，证明EO∥BD₁，即可证明BD₁∥平面B₁CE；
（3）利用等体积方法求点C₁到平面B₁CE的距离．

解答 （1）解：连接BC₁，即为平面ABD₁与平面B₁CE的交线，如图所示
（2）证明：设BC₁∩B₁C=O，连接EO，则
∵E为C₁D₁的中点，∴EO∥BD₁，
∵BD₁?平面B₁CE，EO?平面B₁CE，
∴BD₁∥平面B₁CE；
（3）解：由题意，△B₁CE中，B₁C=$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{2}$，B₁E=$\sqrt{5}$，面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{5-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$
∴由等体积可得，点C₁到平面B₁CE的距离=$\frac{\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×1}{\frac{1}{3}×\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查体积公式，属于中档题．