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已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=0,an+1-Sn=n.
(Ⅰ) 求证:数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ) 设数列{bn}的前n项和为Tn,b1=1,点(Tn+1,Tn)在直线
x
n+1
-
y
n
=
1
2
上,在(Ⅰ)的条件下,若不等式
b1
a1+1
+
b2
a2+1
+…+
bn
an+1
t2-3t
对于n∈N*恒成立,求实数t的取值范围.
考点:数列与不等式的综合
专题:等差数列与等比数列,不等式的解法及应用
分析:(Ⅰ)条件an+1-Sn=n中令n=n-1得 an-Sn-1=n-1,两式相减得递推关系式an+1=2an+1,结合a1=0可证数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式,(Ⅱ)点(Tn+1,Tn)在直线
x
n+1
-
y
n
=
1
2
上得数列{
Tn
n
}
是等差数列并求出通项公式,将an,bn代入不等式可见不等式左边为等比数列前n项和,利用错位相减求出化简不等式转化为恒成立问题求解.
解答: 解:(Ⅰ)由an+1-Sn=n,得an-Sn-1=n-1(n≥2),
两式相减得an+1-an-(Sn-Sn-1)=1,即an+1=2an+1,
所以an+1+1=2(an+1)(n≥2),
又a1=0,a2=1,则a2+1=2(a1+1),所以an+1+1=2(an+1)对任意n∈N*成立,
所以数列{an+1}是以a1+1=1为首项,2为公比的等比数列.
所以,数列{an}的通项公式an=2n-1-1
(Ⅱ)因为点(Tn+1,Tn)在直线
x
n+1
-
y
n
=
1
2
上,所以
Tn+1
n+1
-
Tn
n
=
1
2
,故{
Tn
n
}
是以
T1
1
=1
为首项,
1
2
为公差的等差数列,则
Tn
n
=1+
1
2
(n-1)
,所以Tn=
n(n+1)
2

当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=
n(n+1)
2
-
(n-1)n
2
=n
,b1=1满足该式,所以bn=n.
不等式
b1
a1+1
+
b2
a2+1
+…+
bn
an+1
t2-3t
,即为1+
2
2
+
3
22
+…+
n
2n-1
t2-3t

Rn=1+
2
2
+
3
22
+…+
n
2n-1
,则
1
2
Rn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
,两式相减得(1-
1
2
)Rn=1+
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n-1
-
n
2n
=2-
n+2
2n
,所以Rn=4-
n+2
2n-1

所以Rn=4-
n+2
2n-1
<4

Rnt2-3t恒成立,即t2-3t≥4,解得t≤-1或t≥4.
点评:解题关键是将数列{an},{bn}通项公式求出代入不等式化简,转化为恒成立问题解决.
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②若y=ax(a>0,且a≠1)为回旋函数,则回旋值t>1;
③若f(x)=sinωx(ω≠0)为回旋函数,则其最小正周期不大于2;
④对任意一个回旋值为t(t≥0)的回旋函数f(x),方程f(x)=0均有实数根.
其中为真命题的是
 
(写出所有真命题的序号).

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a≥3
,则a2+b2的范围为(  )
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B、[25,45]
C、[13,45]
D、[13,49]

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x
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计算:(
2
3
100×(1
1
2
100×(
1
4
2014×42015

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A、
3
2
B、
6
2
C、
10
2
D、
6

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