Question

【题目】已知椭圆的长轴长为6，离心率为 ，F2为椭圆的右焦点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点M在圆x2+y2=8上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=8的切线交椭圆于P，Q两点，判断△PF2Q的周长是否为定值并说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）根据已知，设椭圆的标准方程为 ， ∴2a=6，a=3， ，c=1；
b2=a2﹣c2=8，

（II）△PF2Q的周长是定值，
设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），则 ，
，
∵0＜x1＜3，
∴ ，
在圆中，M是切点，
∴ ，
∴ ，
同理|QF2|+|QM|=3，
∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，
因此△PF2Q的周长是定值6
【解析】（Ⅰ）由题意可知：2a=6， ，求得a和c的值，由b2=a2﹣c2 ， 求得b，写出椭圆方程；（Ⅱ）设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2 ， 可得 ，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；