Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF//AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（1）求证：NC∥平面MFD；
（2）若EC=3，求证：ND⊥FC;
（3）求四面体NFEC体积的最大值．

Answer 1

（1）证明：由四边形MNEF，EFDC都是矩形，得到MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．
推出四边形MNCD是平行四边形，从而NC∥平面MFD．
（2）证明：连接ED，设ED∩FC=O．推出FC⊥NE．又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，结合 FC⊥ED．推出FC⊥平面NED，所以ND⊥FC．（3）x=2时，四面体NFEC的体积有最大值2．

试题分析：（1）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．
所以四边形MNCD是平行四边形，所以NC∥MD，因为NC?平面MFD，所以NC∥平面MFD．                 4分
（2）证明：连接ED，设ED∩FC=O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，                              5分
所以FC⊥NE．又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以 FC⊥ED．所以FC⊥平面NED，
所以ND⊥FC．                              8分
（3）解：设NE=，则EC=4-，其中0＜x＜4．由（1）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为，所以.
当且仅当，即x=2时，四面体NFEC的体积有最大值2．
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，（1）（2）小题，将立体问题转化成平面问题，这也是解决立体几何问题的一个基本思路。（3）利用函数思想，构建体积函数表达式，应用均值定理，求得体积的最大值。