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(1)已知|2x-3|≤1的解集为[m,n]
①求m+n的值;
②若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1.
(2)已知x,y,z为正实数,且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1
,求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x,y,z的值.
考点:平均值不等式在函数极值中的应用
专题:计算题,不等式
分析:(1)①由不等式|2x-3|≤1可得1≤x≤2,则m=1,n=2;
②化|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|,从而证明;
(2)利用柯西不等式求最小值即取最小值的条件.
解答: 解:(1)①由不等式|2x-3|≤1可化为-1≤2x-3≤1得1≤x≤2,
∴m=1,n=2,
∴m+n=3;
②证明:∵|x-a|<1,
∴|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1.
(3)解:由柯西不等式得
x+4y+9z=[(
x
)2+(2
y
)2+(3
z
)2]•[(
1
x
)2+(
1
y
)2+(
1
z
)2]
                ≥(
x
1
x
+2
y
1
y
+3
z
1
z
)2=36

当且仅当x=2y=3z,即x=6,y=3,z=2时,等号成立;
所以当x=6,y=3,z=2时,x+4y+9z取得最小值36.
点评:本题考查了绝对值不等式的解法及证明,同时考查了柯西不等式在求最值时的应用,属于中档题.
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已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是a,b,c,则a,b,c,的大小关系是(  )
A、a<b<c
B、a<c<b
C、c<b<a
D、b<a<c

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知x,y,z为正实数,且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1,求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x,y,z的值.

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已知函数f(x)=x-m
x
+5,当1≤x≤9时,f(x)>1有恒成立,则实数m的取值范围为(  )
A、m<
13
3
B、m<5
C、m<4
D、m≤5

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如图,△ADP为正三角形,O为正方形ABCD中心,而ADP⊥面ABCD,M为面ABCD内的点,且满足MP=MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为(  )
A、
B、
C、
D、

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设函数f(x)=lnx-ax+2.
(1)若a>0,求函数f(x)的单调区间和极值;
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1
2
,3]上有最大值e3,其中f′(x)的导数,求实数a的值.

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已知a,b,c,d均为实数,函数f(x)=
a
3
x3+
b
2
x2
+cx+d(a<0)有两个极值点x1,x2且x1<x2,满足f(x2)=x1,则方程af2(x)+bf(x)+c=0的实根的个数是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=
3
,B1B=BC=1,则线BC1与面BDD1B1所成角的正弦为(  )
A、
10
4
B、
6
4
C、
2
15
5
D、
3
4

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知二阶矩阵A属于特征值-1的 一个特征向量为 
-1
 
3
,属于特征值7的 一个特征向量为 
1
 
1

①求矩阵A;
②若方程满足 AX=
7
14
,求X.

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