Question

10．如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=$\sqrt{2}$，点E在PD上，且$\frac{PE}{ED}$=2．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在点F使得BF∥平面EAC？若存在，指出F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）证明PA⊥AB，PA⊥AD，AB、AD是平面ABCD内的两条相交直线，即可证明PA⊥平面ABCD；
（II）F是棱PC的中点，连接BM、BD，设BD∩AC=O，利用平面BFM∥平面AEC，证明使BF∥平面AEC．

解答 证明：（Ⅰ）∵因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=1，
在△PAB中，由PA²+AB²=2=PB²，知PA⊥AB．
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．…（5分）
（Ⅱ）取PE的中点M，PC的中点F，连接BD交AC于O，连接OE，BM，BF，则FM∥CE①--------（6分）
∵菱形ABCD，∴O是BD的中点
∵$\frac{PE}{ED}$=2，∴E是PD的三等分点--------（7分）
∴M是PE的中点，E是MD的中点，
∴BM∥OE．②
由①、②知，平面BFM∥平面AEC．
又BF?平面BFM，所以BF∥平面AEC    （12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，转化思想，是中档题．