【题目】已知函数.
(1)若在处的切线方程为,求实数、的值;
(2)设函数,(其中为自然对数的底数).
①当时,求的最大值;
②若是单调递减函数,求实数的取值范围.
【答案】(1),;(2)①;②.
【解析】
(1)由题意得出,可求出的值,计算出的值,再将点的坐标代入直线可求出实数的值;
(2)①将代入函数,求出其导数,构造函数,利用导数分析函数在区间上的单调性,可得出,进而判断出函数在区间上的单调性,由此求出答案;
②由题意得出,对分、、三种情况讨论,结合在上恒成立,可求出实数的取值范围.
(1),,
由题意可得,解得,所以,,,
将点的坐标代入直线的方程得,解得.
因此,,;
(2)①当时,,则,
,
令,其中,则,
所以,函数在区间上单调递增,则,则有.
因此,函数在区间上的最大值为;
②由于函数在区间上单调递增,所以,
即,则.
(i)当时,,,
,
令,则,
即函数在区间上单调递减,所以,,解得;
(ii)当时,,,
由(i)知,,又因为函数在区间上是单调递减函数,
所以,对任意的恒成立,
即对任意的恒成立,
即,.
令,.
,
构造函数,则,
所以,函数在区间上单调递减,故,即.
所以,,
即函数在区间上单调递减,
所以,,,
又,;
(iii)当时,因为,
,
所以,函数在区间上单调递增,
又,
则存在唯一的,使得,
所以,函数在区间上不单调.
综上所述,实数的取值范围是.
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【题目】已知函数,.
(1)存在,对任意,有不等式成立,求实数的取值范围;
(2)如果存在、,使得成立,求满足条件的最大整数;
(3)对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.
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【题目】在高中学习过程中,同学们经常这样说:“数学物理不分家,如果物理成绩好,那么学习数学就没什么问题。”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究,得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论。现从该班随机抽取5位学生在一次考试中的数学和物理成绩,如下表:
(1)求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程。若某位学生的物理成绩为80分,预测他的数学成绩;
(2)要从抽取的这5位学生中随机抽取2位参加一项知识竞赛,求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率。(参考公式: 参考数据: )
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在极坐标(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,轴正半轴为极轴)中,圆的方程为
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于点,,若点的坐标为,求.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为;直线l的参数方程为(t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若点P的极坐标为,,求的值.
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【题目】关于函数有下述四个结论:
①的周期为;
②在上单调递增;
③函数在上有个零点;
④函数的最小值为.
其中所有正确结论的编号为( )
A.①②B.②③C.③④D.②④
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【题目】谢尔宾斯基三角形(Sierpinskitriangle)是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,如图先作一个三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色三角形代表挖去的面积,那么灰色三角形为剩下的面积(我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形).若通过该种方法把一个三角形挖3次,然后在原三角形内部随机取一点,则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______.
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