分析 (1)当a=2时,由f(x)=0解方程即可得函数的零点;
(2)当a>0时,由f(x)=0解方程即可得函数的零点个数;
(3)若函数f(x)有四个不同的零点,作出函数f(x)的图象,利用数形结合进行求解即可求a的取值范围.
解答 解:(1)当a=2时,函数f(x)=$\frac{|x|}{x+2}$-ax2=$\frac{|x|-{2x}^{2}(x+2)}{x+2}$,
令|x|-2x2(x+2)=0,
可得$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x-{2x}^{3}-{4x}^{2}=0}\end{array}\right.$…①或$\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{-x-{2x}^{3}-{4x}^{2}=0}\end{array}\right.$…②,
由①可得 x=0,x=$\frac{\sqrt{6}}{2}+1$,或$x=\frac{\sqrt{6}}{2}-1$;
由②可得$x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$,
综上,当a=2时,函数f(x)的零点为x=0,x=$\frac{\sqrt{6}}{2}+1$,$x=\frac{\sqrt{6}}{2}-1$或$x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$;
(2)当a>0,x>0时,
函数f(x)=$\frac{|x|}{x+2}$-ax2=$\frac{x-{ax}^{3}-2{ax}^{2}}{x+2}=\frac{x(1-{ax}^{2}-2ax)}{x+2}$,
令f(x)=0,
可得x(1-ax2-2ax)=0,
解得x=-1+$\sqrt{2}$,x=0(舍去),或x=-1-$\sqrt{2}$(舍去),
即函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点x=-1+$\sqrt{2}$;
(3)函数f(x)=$\frac{|x|}{x+2}$-ax2有四个不同的零点,
①x=0时,f(0)=0,所以x=0是函数f(x)的一个零点;
②当x≠0时,可得y=$\frac{|x|}{{x}^{2}}$与y=a(x+2)的图象在平面直角坐标系中有3个不同的交点,
分别画出它们的图象如下:
当y=a(x+2)与y=-$\frac{1}{x}$相切时,a=1,
所以若函数f(x)有四个不同的零点,求a的取值范围为(1,+∞).
点评 本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系,根据函数零点的定义建立方程公式是解决本题的关键.考查了分类讨论的数学思想,综合性较强,有一定的难度.
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A. | “m=2”是“l1:2x+(m+1)y+4=0与l2:mx+3y-2=0平行”的充分条件 | |
B. | “方程Ax2+By2=1表示椭圆”的充要条件是“A≠B” | |
C. | 命题“?x∈R,x2≥0”的否定是“?x0∈R,x02≥0” | |
D. | 命题“a、b都是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数,则a、b都是奇数” |
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A. | [-2,2] | B. | [0,2] | C. | [-2,0] | D. | (-∞,-2)∪(2,+∞) |
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A. | 最小正周期为π | B. | 值域为[0,1] | ||
C. | 在[$\frac{π}{2}$,$\frac{3π}{2}$]上单调递减 | D. | (π,0)是其图象的一个对称中心 |
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