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12.已知函数$f(x)=\frac{x}{{1+{x^2}}}$,x∈(0,1).
(1)令x1,x2∈(0,1),证明:(x1-x2)•[f(x1)-f(x2)]≥0;
(2)若x∈(0,1)时,恒有$\frac{{3{x^2}-x}}{{1+{x^2}}}≥a({x-\frac{1}{3}})$,求a的值;
(3)若x1,x2,x3都是正数,且x1+x2+x3=1,求$y=\frac{{3x_1^2-{x_1}}}{1+x_1^2}+\frac{{3x_2^2-{x_2}}}{1+x_2^2}+\frac{{3x_3^2-{x_3}}}{1+x_3^2}$的最小值.

分析 (1)只需证明函数$f(x)=\frac{x}{{1+{x^2}}}$,在(0,1)上递增即可
(2)当x=$\frac{1}{3}$时,a∈R,
当x∈(0,$\frac{1}{3}$)时,恒有$\frac{{3{x^2}-x}}{{1+{x^2}}}≥a({x-\frac{1}{3}})$,⇒a≥$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$,由(1)得,⇒y$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$,在(0,1)上递增,∴a≥$\frac{9}{10}$;
当x∈($\frac{1}{3}$,1)时,恒有$\frac{{3{x^2}-x}}{{1+{x^2}}}≥a({x-\frac{1}{3}})$,⇒a≤$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$,由(1)得,⇒y$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$,∈($\frac{1}{3}$,1)上递增∴a≤$\frac{9}{10}$;
(3)由(1)得a=$\frac{9}{10}$
  x∈(0,1)时,恒有$\frac{{3{x^2}-x}}{{1+{x^2}}}≥a({x-\frac{1}{3}})$,
$y=\frac{{3x_1^2-{x_1}}}{1+x_1^2}+\frac{{3x_2^2-{x_2}}}{1+x_2^2}+\frac{{3x_3^2-{x_3}}}{1+x_3^2}$≥$\frac{9}{8}({x}_{1}-\frac{1}{3})+\frac{9}{8}({x}_{2}-\frac{1}{3})+\frac{9}{8}({x}_{2}-\frac{1}{3})$=$\frac{9}{8}({x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}-1)=0$.

解答 解:(1)令x1,x2∈(0,1),且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=$\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}-\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}=\frac{({x}_{1}-{x}_{2})(1-{x}_{1}{x}_{2})}{(1+{{x}_{1}}^{2})(1+{{x}_{2}}^{2})}$
∵x1,x2∈(0,1),且x1>x2,∴x1-x2>0,1-x1x2>0,∴f(x1)-f(x2)>0,
故函数$f(x)=\frac{x}{{1+{x^2}}}$,在(0,1)上递增,∴:(x1-x2)•[f(x1)-f(x2)]≥0.
(2)当x=$\frac{1}{3}$时,a∈R,
当x∈(0,$\frac{1}{3}$)时,恒有$\frac{{3{x^2}-x}}{{1+{x^2}}}≥a({x-\frac{1}{3}})$,⇒a≥$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$,由(1)得,⇒y$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$,在(0,1)上递增,∴a≥$\frac{9}{10}$;
当x∈($\frac{1}{3}$,1)时,恒有$\frac{{3{x^2}-x}}{{1+{x^2}}}≥a({x-\frac{1}{3}})$,⇒a≤$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$,由(1)得,⇒y$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$,∈($\frac{1}{3}$,1)上递增∴a≤$\frac{9}{10}$;
综上:a=$\frac{9}{10}$
(3)∵x1,x2,x3都是正数,且x1+x2+x3=1,∴x1,x2,x3∈(0,1),由(1)得a=$\frac{9}{10}$
  x∈(0,1)时,恒有$\frac{{3{x^2}-x}}{{1+{x^2}}}≥a({x-\frac{1}{3}})$,
$y=\frac{{3x_1^2-{x_1}}}{1+x_1^2}+\frac{{3x_2^2-{x_2}}}{1+x_2^2}+\frac{{3x_3^2-{x_3}}}{1+x_3^2}$≥$\frac{9}{8}({x}_{1}-\frac{1}{3})+\frac{9}{8}({x}_{2}-\frac{1}{3})+\frac{9}{8}({x}_{2}-\frac{1}{3})$=$\frac{9}{8}({x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}-1)=0$.
$y=\frac{{3x_1^2-{x_1}}}{1+x_1^2}+\frac{{3x_2^2-{x_2}}}{1+x_2^2}+\frac{{3x_3^2-{x_3}}}{1+x_3^2}$的最小值为0.

点评 本题考查了函数的单调性及最值,分类讨论思想、转化思想是关键,属于基础题.

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