Question

12．公差不为零的等差数列{a_n}的前5项和为-20，数列{b_n}为等比数列，且b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₄．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}前n项和．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），{b_n}的公比为q，由等差数列的前n项和公式、性质求出a₃=-2，结合条件利用等比、等差数列的通项公式列出方程组，求出方程组的解，由等差数列的通项公式求出a_n；
（2）由（1）和等比数列的前n项和公式求出数列{b_n}前n项和．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），{b_n}的公比为q，
∵等差数列{a_n}的前5项和为-20，
∴$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}=-20$，由等差数列的性质得a₃=-2，
∵b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₄，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}={a}_{1}}\\{{a}_{1}+2d=-2}\\{{b}_{1}q=-2}\\{{b}_{1}{q}^{2}=-2+d}\end{array}\right.$，解得b₁=a₁=-4，d=1，q=$\frac{1}{2}$，
则a_n=a₁+（n-1）d=n-5；
（2）由（1）得，b₁=-4，q=$\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}前n项和S_n=$\frac{{b}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{-4[1-{（\frac{1}{2}）}^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=-8+$\frac{1}{{2}^{n-3}}$．

点评 本题等比、等差数列的通项公式以及前n项和公式，等差数列的性质，考查方程思想和化简、计算能力，属于中档题．