[题目]已知椭圆C:过点.且离心率为(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)若过原点的直线与椭圆C交于P.Q两点.且在直线上存在点M.使得为等边三角形.求直线的方程. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知椭圆C：过点，且离心率为

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得为等边三角形，求直线的方程。

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）y=0或y=

【解析】

（Ⅰ）列a,b,c的方程组求解即可求得方程；（Ⅱ）当的斜率k=0时符合题意；当的斜率k0时，设直线与椭圆联立，求得P，Q坐标，进而求得设直线的中垂线方程：,求其与的交点M,由为等边三角形,得到解方程求得k值即可

（Ⅰ）由题解得a=,b=,c=,椭圆C的方程为

（Ⅱ）由题，当的斜率k=0时，此时PQ=4 直线与y轴的交点（0，满足题意；

当的斜率k0时，设直线与椭圆联立得=8,,设P（）,则Q（）,,又PQ的垂直平分线方程为由，解得,,, ∵为等边三角形即解得k=0(舍去)，k=,直线的方程为y=

综上可知，直线的方程为y=0或y=

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