【题目】设椭圆的右焦点为
,右顶点为
.已知
,其中
为原点,
为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程及离心率的值;
(2)设过点的直线
与椭圆交于点
(
不在
轴上),垂直于
的直线与
交于点
,与
轴交于点
.若
,且
,求直线
的斜率的取值范围.
【答案】(1)椭圆的方程为.
;(2)
【解析】试题分析:(1)由椭圆方程可知,由已知
得
,∴
,平方得
,所以
,又因为
,∴
,解得
,所以
,因此
.所以,椭圆的方程为
.
. (2)因为直线
过点
,设直线
的斜率为
,由点斜式得直线
的方程为
,设
,把直线
的方程为
与椭圆方程联立消去
,得
,因为2与点B的横坐标是此方程的两个根,用根于系数的关系得
,代入直线
的方程从而得
. 由
,得
,设
,求两向量的坐标。由(1)知,
,得向量坐标
,
. 所以
,解得
.因为直线
与直线
垂直,所以直线
的斜率为
,由直线的斜截式得直线
的方程为
.联立直线
的方程
与直线
的方程
,设
,可解得点M的横坐标
,在
中,由大边对大角得
,由两点间的距离公式得
,化简得
,即
,解不等式可得
,或
.
试题解析:解:(1)设,∵
,∴
,
又,∴
,
,∴
,
所以,因此
.
所以,椭圆的方程为.
.
(2)解:设直线的斜率为
,则直线
的方程为
,设
,
由方程组,消去
,得
,
解得,或
,由题意得
,从而
.
由(1)知, ,设
,有
,
.
由,得
,所以
,解得
.因此直线
的方程为
.
设,由方程组
,消去
,解得
,在
中,
,即
,化简得
,即
,解得
,或
.
所以,直线的斜率的取值范围为
.
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【题目】已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.
(1)求实数a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中,使其满足条件:①每个自然数“放置”在一个“整点”(横纵坐标均为整数的点)上;②0在原点,1在(0,1)点,2在(1,1)点,3在(1,0)点,4在(1,﹣1)点,5在(0,﹣1)点,…,即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上,则放置数字(2n+1)2 , n∈N*的整点坐标是 .
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【题目】在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n=1,2,…,6)的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下:
编号n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
成绩xn | 70 | 76 | 72 | 70 | 72 |
(1)求第6位同学的成绩x6 , 及这6位同学成绩的标准差s;
(2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x. 给出如下结论:
①对任意m∈Z,有f(2m)=0;
②函数f(x)的值域为[0,+∞);
③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;
正确的有( )
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
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