Question

12．设a＞0，b＞0，对任意的实数x＞1，有ax+$\frac{x}{x-1}$＞b成立，试比较$\sqrt{a}$+1和$\sqrt{b}$的大小．

Answer 1

分析 构造函数$f（x）=ax+\frac{x}{x-1}$，由基本不等式可求f（x）的最小值，由恒成立可得$b＜{（{\sqrt{a}+1}）^2}$，可得$\sqrt{a}+1＞\sqrt{b}$．

解答 解：设$f（x）=ax+\frac{x}{x-1}$，则$f（x）=ax+1+\frac{1}{x-1}=（{a+1}）+a（{x-1}）+\frac{1}{x-1}$，
∵x＞1，∴x-1＞0，∴$f（x）≥a+1+2\sqrt{a}={（{\sqrt{a}+1}）^2}$，
当且仅当$a（{x-1}）=\frac{1}{x-1}（{x＞1}）$，即$x=1+\sqrt{\frac{1}{a}}$时，上式取“=”，
又f（x）＞b恒成立，∴$b＜{（{\sqrt{a}+1}）^2}$，
又∵a＞0，b＞0，∴$\sqrt{a}+1＞\sqrt{b}$

点评 本题考查基本不等式，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．