分析 构造函数$f(x)=ax+\frac{x}{x-1}$,由基本不等式可求f(x)的最小值,由恒成立可得$b<{({\sqrt{a}+1})^2}$,可得$\sqrt{a}+1>\sqrt{b}$.
解答 解:设$f(x)=ax+\frac{x}{x-1}$,则$f(x)=ax+1+\frac{1}{x-1}=({a+1})+a({x-1})+\frac{1}{x-1}$,
∵x>1,∴x-1>0,∴$f(x)≥a+1+2\sqrt{a}={({\sqrt{a}+1})^2}$,
当且仅当$a({x-1})=\frac{1}{x-1}({x>1})$,即$x=1+\sqrt{\frac{1}{a}}$时,上式取“=”,
又f(x)>b恒成立,∴$b<{({\sqrt{a}+1})^2}$,
又∵a>0,b>0,∴$\sqrt{a}+1>\sqrt{b}$
点评 本题考查基本不等式,变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键,属中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | B. | $-\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
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