Question

已知P为圆x²+y²=4上任意一点，Q为点P在x轴上的射影，M为线段PQ的中点，
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点E（0，2）的直线l与曲线C交于A、B两点，若点O在以AB为直径的圆上或圆外（O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。

Answer 1

解：（1）设M（x，y），则P（x，2y），
∵点P在圆x²+y²=4上，
∴x²+（2y）²=4，
所以点M的轨迹C的方程为+y²=1；
（2）依题意，显然l的斜率存在，设l：y=kx+2，
由方程组，消y得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
∵直线l与C有两交点，
∴△=（16k）²-4×12·（1+4k²）＞0，解得k²＞，
且x_A+x_B=，x_A·x_B=；
又∠AOB为直角或锐角，x_A·x_B+y_A·y_B≥0，
即x_A·x_B+（kx_A+2）（kx_B+2）≥0，
（1+k²）x_A·x_B+2k（x_A+x_B）+4≥0，
所以（1+k²）-2k+4≥0，解得k²≤4，
故直线l的斜率k的取值范围是k∈。