Question

已知函数
（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线横过定点，并求出定点的坐标；
（2）若f（x）＜f₂（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）当时，求证：在区间（1，+∞）上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．

Answer 1

解：（1）因为，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为，
所以f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，
整理得，所以切线恒过定点．
（2）令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
因为（*）
令p'（x）=0，得极值点x₁=1，，
①当时，有x₂＞x₁=1，即时，在（x₂，+∞）上有p'（x）＞0，
此时p（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合题意；
②当a≥1时，有x₂＜x₁=1，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
③当时，有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，
所以．
综上可知a的范围是．
（3）当时，
记．
因为，所以y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）上为增函数，
所以，设，则f₁（x）＜R（x）＜f₂（x），
所以在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．
分析：（1）先求出导数，根据导数的几何意义得出f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为，从而写出切线方程得出切线恒过定点；
（2）先令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
利用导数求出p（x）在区间（1，+∞）上是减函数，从而得出：要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，由此解得a的范围即可．
（3）当时，．
记．利用导数研究它的单调性，得出y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）上为增函数，最后得到满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．
点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、导函数的正负与原函数的单调性之间的关系等，注意应用导数的性质：当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．