Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，等比数列{b_n}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的整数，n∈N^*．
（1）若a₁＜b₁，b₃＜a₂+a₃，求a，b的值；
（2）若a=2，数列{b_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，记c_n=T_n-λS_n（λ是实常数）．
①若数列{c_n}是等差数列，求λ的值；②若c_n+1＞c_n对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，1＜a＜b，ba²＜a+b+a+2b=2a+3b＜5b即a²＜5，a＞1且a为整数可求a然后由，4b＜2a+3b即b＜2a=4，b为整数可求b
（2）若a=2，则由题意可求，Sn=

b(1-2n)

1-2

=b(2n-1)，T_n=b（2¹-1+2²-1+…+2ⁿ-1）=b（2ⁿ⁺¹-n-2）
C_n=T_n-λS_n=b[（2-λ）2ⁿ+λ-2-n]，可得C_n+1-C_n=b[（2-λ）2ⁿ⁺¹+λ-2]-b[（2-λ）2ⁿ+λ-2]=b•[（2-λ）•2ⁿ-1]
①若数列为等差数列，则b•（2-λ）•2ⁿ为常数，可求λ
②若C_n+1＞C_n，则b[（2-λ）2ⁿ-1]＞0，可求λ得范围

解答：解：（1）由题意可得，1＜a＜b，
∵b₃＜a₂+a₃∴ba²＜a+b+a+2b=2a+3b＜5b
即a²＜5，a＞1且a为整数
∴a=2，4b＜2a+3b即b＜2a=4，b为整数，故b=3
即a=2，b=3
（2）若a=2，则由题意可得，Sn=

b(1-2n)

1-2

=b(2n-1)，
T_n=b（2¹-1+2²-1+…+2ⁿ-1=b•（

2(1-2n)

1-2

-n）=b•（（2ⁿ⁺¹-2-n）
∴C_n=T_n-λS_n=b•（2ⁿ⁺¹-2-n）-λb•（2ⁿ-1）=b[（2-λ）2ⁿ+λ-2-n]
∴C_n+1-C_n=b[（2-λ）2ⁿ⁺¹+λ-2-（n+1）]-b[（2-λ）2ⁿ+λ-2-n]=b•[（2-λ）•2ⁿ-1]
①若数列为等差数列，则b•（2-λ）•2ⁿ为常数，而由于2ⁿ为变量，故b（2-λ）=0，
∵b＞1
∴λ=2
②若C_n+1＞C_n，则b[（2-λ）2ⁿ-1]＞0，从而可得，2-λ＞

1

2n

恒成立
∴2-λ＞

1

2

∴λ＜

3

2

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列中利用基本量表示数列中的项，这是数列部分考查的最基本的试题类型，而等差数列得定义与数列单调性的定义的应用是解决（2）的关键．