Question

已知圆C：(x－1)²＋(y－2)²=2，点P(2，－1)，过P点作圆C的切线PA、PB，A、B为切点.

(1)求PA、PB所在直线的方程；

(2)求切线长|PA|；

(3)求∠APB的正弦值；

(4)求AB的方程.

Answer 1

解:(1)设切线的斜率为k.

∵切线过点P(2，－1),

∴切线的方程为y＋1=k(x－2),即kx－y－2k－1=0.

又C(1，2)，半径r=，

由点到直线的距离公式得=.

解之得k=7或k=－1.

故所求切线PA、PB的方程分别是x＋y－1=0和7x－y－15=0.

(2)连结AC、PC，则AC⊥AP.

在Rt△APC中，|AC|=,|PC|==,

∴|PA|===2.

(3)连结CB，则CB⊥BP.

由△APC≌△BPC知,∠APC=∠BPC,∴∠APB=2∠APC.

∴sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APC·cos∠APC=2××=.

(4)解法一:A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，

则(x₁－1)²＋(y₁－2)²=2，(x₂－1)²＋(y₂－2)²=2.

∵CA⊥AP，∴k_CA·k_AP=－1，即·=－1.

∴(y₁－2)(y₁＋1)=－(x₁－1)(x₁－2).

变形得(y₁－2)(y₁－2＋3)=－(x₁－1)(x₁－1－1),

(y₁－2)²＋3(y₁－2)=－(x₁－1)²＋(x₁－1),

(x₁－1)²＋(y₁－2)²＋3(y₁－2)－(x₁－1)=0.

∵(x₁－1)²＋(y₁－2)²=2,

∴上式可化简为x₁－3y₁＋3=0.

同理可得x₂－3y₂＋3=0.

∵A、B两点的坐标都满足方程x－3y＋3=0，

∴直线AB的方程是x－3y＋3=0.

解法二:∵∠CAP=∠CBP=90°,

∴A、B两点在以CP为直径的圆上.

CP的中点坐标为(，)，即(，)，

又|CP|=,

∴以CP为直径的圆的方程为(x－)²＋(y－)²=()²,

即x²＋y²－3x－y=0.                                                                                                  ①

又圆C:(x－1)²＋(y－2)²=2的一般方程为

x²＋y²－2x－4y＋3=0,                                                                                                ②

②－①得x－3y＋3=0为直线AB的方程.

点评:凡与圆的切线有关的题目，常用切线与过切点的半径垂直这一性质解题.因此，求切线的方程可用点到直线的距离公式；求切线长可用勾股定理；求两切点所在直线的方程，方法有三：一是设而不求法,二是两式相减法,三是求出A、B两点的坐标，应用两点间的距离公式.例题中选择了前两种方法供借鉴.