Question

已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的面积为πab，M包含于平面区域Ω：

|x|≤2 |y|≤ 3

内，向平面区域Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆内的概率为

π

4

．
（Ⅰ）试求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若斜率为

1

2

的直线l与椭圆M交于C、D两点，点P(1，  

3

2

)为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k₁，直线PD的斜率为k₂，试问：k₁+k₂是否为定值？请证明你的结论、

Answer 1

分析：（Ⅰ）平面区域Ω：

|x|≤2 |y|≤ 3

是一个矩形区域，如图所示．
依题意及几何概型，可得

πab

8 3

=

π

4

，由此可导出椭圆M的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=

1

2

x+b，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立直线l'的方程与椭圆方程得：

y= 1 2 x+b(1) x2 4 + y2 3 =1(2)

，
∴3x2+4(

1

2

x+b)2=12，
然后结合题设条件，由根的判别式和根与系数的关系能够推导出k₁+k₂为定值0．

解答：解：（Ⅰ）平面区域Ω：

|x|≤2 |y|≤ 3

是一个矩形区域，如图所示．
依题意及几何概型，可得

πab

8 3

=

π

4

，
即ab=2

3

．
因为0＜a≤2，0＜b≤

3

，
所以，a=2，b=

3

．
所以，椭圆M的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=

1

2

x+b，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立直线l'的方程与椭圆方程得：

y= 1 2 x+b(1) x2 4 + y2 3 =1(2)

（1）代入（2）得：3x2+4(

1

2

x+b)2=12
化简得：x²+bx+b²-3=0）
当△＞0时，即，b²-4（b²-3）＞0
也即，|b|＜2时，直线l'与椭圆有两交点，
由韦达定理得：

x1+x2=-b x1•x2=b2-3

，
所以，k1=

y1- 3 2

x1-1

=

1 2 x1+b- 3 2

x1-1

，
k2=

y2- 3 2

x2-1

=

1 2 x2+b- 3 2

x2-1

则k₁+k₂=

1 2 x1+b- 3 2

x1-1

+

1 2 x2+b- 3 2

x2-1

=

x1•x2+(b-2)(x1+x2)+3-2b

(x1-1)(x2-1)

=

b2-3+(b-2)(-b)+3-2b

(x1-1)(x2-1)

=0
所以，k₁+k₂为定值．

点评：本题综合考查椭圆的性质及应用和直线 与椭圆的位置关系，解题时要认真审题、仔细解答，避免出现不必要的错误．