Question

已知函数，其中e为自然对数的底数．
（I）若函数f（x）在[1，2]上为单调增函数，求实数a的取值范围；
（II）设曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线为l．试问：是否存在正实数a，使得函数y=f（x）的图象被点P分割成的两部分（除点P外）完全位于切线l的两侧？若存在，请求出a满足的条件，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）在[1，2]上为单调增函数，
∴f′（x）=2e^2x-4ax+2e²≥0对任意的x∈[1，2]恒成立．
即不等式2a≤，x∈[1，2]恒成立…2′
令h（x）=，x∈[1，2]则h′（x）=…3′
令p（x）=2xe^2x-e^2x-e²，∵p′（x）=2e^2x+4xe^2x-2e^2x=4xe^2x＞0，∴p（x）在[1，2]上单调递增，
又p（1）=0，故当x∈（1，2]时，p（x）＞0，h′（x）＞0．
∴h（x）在[1，2]上为单调递增，故h（x）_min=h（1）=2e²，
∴a的取值范围为（-∞，e²）…6′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（1）=4e²-4a，又f（1）=3e²-2a，
∴f（x）在点x=1处的切线l方程为y=f′（1）（x-1）+f（1），
即y=（4e²-4a）x-e²+2a…7′
令g（x）=f（x）-[（4e²-4a）x-e²+2a]=e^2x-2ax²+2e²x-（4e²-4a）x+e²-2a=e^2x-2ax²-（2e²-4a）x+e²-2a…8′
假设满足条件的正数a存在，由于x→+∞时，g（x）→+∞，则必有当x＜1时，g（x）＜0，当x＞1时，g（x）＞0，…9′
由于g′（x）=2e^2x-4ax-2e²+4a，且g′（1）=0，则[g′（x）]′=4e^2x-4a，
∵a＞0，
∴[g′（x）]′＞0的解为x＞，
∴g′（x）在（-∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递増．
①当a=e²时，g′（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递増且g′（1）=0，故对任意的x∈R，g′（x）≥0，
则g（x）在（-∞，+∞）上单调递増，又g（1）=0，则当x＜1时，g（x）＜0，当x＞1时，g（x）＞0，符合题意…11′
②当a＞e²时，g′（x）在（-∞，）上单调递减，g′（1）=0且＞1，故当x∈（1，），g′（x）＜0，且g（x）在
（1，）上单调减函数，又g（1）=0，从而对任意的x∈（1，），g（x）＜0，不合题意…13′
③当0＜a＜e²时，g（x）在（，+∞）上单调递増，g′（1）=0且＜1，故当x∈（，1），g′（x）＜0，即g（x）在
（，1）上为单调减函数，又g（1）=0，从而对任意的x∈（，1），g（x）＞0，不合题意…14′
综上所述，满足的条件的a存在，且a=e²…15′4
分析：（Ⅰ）f（x）在[1，2]上为单调增函数?f′（x）=2e^2x-4ax+2e²≥0对任意的x∈[1，2]恒成立?不等式2a≤，x∈[1，2]成立，令h（x）=，x∈[1，2]，利用其导数可求得a的取值范围；
（Ⅱ）依题意可求得f（x）在点x=1处的切线l方程为y=（4e²-4a）x-e²+2a，令g（x）=f（x）-[（4e²-4a）x-e²+2a]，假设满足条件的正数a存在，利用g′（x）=2e^2x-4ax-2e²+4a，且g′（1）=0，[g′（x）]′=4e^2x-4a，对a分类讨论，利用g′（x）的单调性即可分析判断a是否存在．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查构造函数的思想，函数与方程，分类讨论与化归思想的综合运用，属于难题．