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精英家教网如图,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,OD⊥AB,P是半圆弧上一点,∠POB=30°,曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(Ⅱ)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不小于2
2
,求直线l斜率的取值范围.
分析:(Ⅰ)以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,由题意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=
(2+
3
)2+12
-
(2-
3
)2+12
=2
2
<|AB|=4.由此可知曲线C的方程;
(Ⅱ)依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,得(1-k2)x2-4kx-6=0.由此入手能够求出直线l的斜率的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)解:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,
则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(
3
,1
),依题意得
|MA|-|MB|=|PA|-|PB|
=
(2+
3
)2+12
-
(2-
3
)2+12

=2
2
<|AB|=4.
∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.
设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,
则c=2,2a=2
2
,∴a2=2,b2=c2-a2=2.
∴曲线C的方程为
x2
2
-
y2
2
=1

(Ⅱ)解:依题意,可设直线l的方程为y=kx+精英家教网2,代入双曲线C的方程并整理,
得(1-k2)x2-4kx-6=0.
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,
1-k2≠0
△=(-4k)2+4×6(1-k2)>0
?
k≠±1
-
3
<k<
3

k∈(-
3
3
)且k≠±1
.②
设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得
|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
|1-k2|
=
2
2
3-k2
|1-k2|
.③
当E、F在同一支上时
S△OEF=|S△ODF-S△ODE|=
1
2
|OD|•||x1|-|x2||=
1
2
|OD|•|x1-x2|;精英家教网
当E、F在不同支上时
S△OEF=S△ODF+S△ODE=
1
2
|OD|•(|x1|+|x2|)=
1
2
|OD|•|x1-x2|.
综上得S△OEF=
1
2
|OD|•|x1-x2|
,于是由|OD|=2及③式,
得S△OEF=
2
2
3-k2
|1-k2|

若△OEF面积不小于2
2
,即S△OEF≥2
2

则有
2
2
3-k2
|1-k2|
?k2≤2,解得-
2
≤k≤
2
.④
综合②、④知,直线l的斜率的取值范围为k∈[-
2
2
]
且k≠±1
点评:本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识,考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力
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(1)建立适当的平面直角坐标系,求双曲线C的方程;
(2)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F,若△OEF的面积不小于2
2
,求直线l的斜率的取值范围.

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如图,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,ODABP是半圆弧上一点,

POB=30°,曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P

(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;

(Ⅱ)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点EF。若△OEF的面积不小于2,求直线l斜率的取值范围。

 

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