Question

如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F．若△OEF的面积不小于2

2

，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，由题意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=

(2+ 3 )2+12

-

(2- 3 )2+12

=2

2

＜|AB|=4．由此可知曲线C的方程；
（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k²）x²-4kx-6=0．由此入手能够求出直线l的斜率的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）解：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
则A（-2，0），B（2，0），D（0，2），P（

3

，1），依题意得
|MA|-|MB|=|PA|-|PB|
=

(2+ 3 )2+12

-

(2- 3 )2+12

=2

2

＜|AB|=4．
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c=2，2a=2

2

，∴a²=2，b²=c²-a²=2．
∴曲线C的方程为

x2

2

-

y2

2

=1．
（Ⅱ）解：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k2)＞0

?

k≠±1 - 3 ＜k＜ 3

．
∴k∈(-

3

，

3

)且k≠±1．②
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则由①式得
|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

△

|1-k2|

=

2 2 3-k2

|1-k2|

．③
当E、F在同一支上时
S_△OEF=|S_△ODF-S_△ODE|=

1

2

|OD|•||x₁|-|x₂||=

1

2

|OD|•|x₁-x₂|；
当E、F在不同支上时
S_△OEF=S_△ODF+S_△ODE=

1

2

|OD|•（|x₁|+|x₂|）=

1

2

|OD|•|x₁-x₂|．
综上得S_△OEF=

1

2

|OD|•|x1-x2|，于是由|OD|=2及③式，
得S_△OEF=

2 2 3-k2

|1-k2|

．
若△OEF面积不小于2

2

，即S△OEF≥2

2

，
则有

2 2 3-k2

|1-k2|

?k²≤2，解得-

2

≤k≤

2

．④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为k∈[-

2

，

2

]且k≠±1

点评：本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力