Question

如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为

π

4

和

π

6

．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=

 

．

Answer 1

分析：如图，连接AB'和A'B，设AB=a，作出两个线面角，在直角三角形中用a表示出线段A'B'的长度，即可得出所求的比值．

解答：解：如图，连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为∠BAB′=

π

4

，
在Rt△BAB′中有AB′=

2

2

a，同理可得AB与平面β所成的角为∠ABA′=

π

6

，
所以A′A=

1

2

a，因此在Rt△AA′B′中A′B′=

( 2 2 a)2-( 1 2 a)2

=

1

2

a，
所以AB：A′B′=a：

1

2

a=2：1．

点评：本题考查线面角及其相关几何运算，考查了在二面角与线面角背景下求线段长度的能力，属于立体几何知识的综合运用题，对空间想像能力要求较高．