Question

若动直线x=a与函数f（x）=sin（x+

π

6

）+sin（x-

π

6

）和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|

MN

|的最大值为

2

．

Answer 1

分析：依题意可设M（x₀，

3

sinx₀），N（x₀，cosx₀），|MN|=|

3

sinx₀-cosx₀|，利用辅助角公式即可．

解答：解：函数f（x）=sin（x+

π

6

）+sin（x-

π

6

）=sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

+sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

=

3

sinx．
设M（x₀，

3

sinx₀），N（x₀，cosx₀），
则|MN|=|

3

sinx₀-cosx₀|=|2sin（ x₀ -

π

6

）|≤2，当且仅当 x₀ -

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z时，等号成立．
故|

MN

|的最大值为2，
故答案为 2．

点评：本题考查正弦函数与余弦函数的图象，考查两点间的距离公式与辅助角公式的应用，属于中档题．