Question

已知函数y=

1

x

的定义域为集合A，集合B={x|ax-1＜0，a∈N^*}，集合C={x|log

1

2

x＞1}，且C?（A∩B）．
（1）求A∩C；
（2）求a．

Answer 1

分析：（1）由函数y=

1

x

中的二次根式定义得到x大于0写出集合A，由集合C中的

log

x 1 2

＞1=

log

1 2 1 2

，根据

1

2

＜1得到对数函数为减函数，所以得到x小于

1

2

，根据对数函数的定义域得到x大于0，写出集合C，求出A与C的交集即可；
（2）求出集合B中不等式的解集得到x小于

1

a

，所以求出A与B的交集，根据集合C为A与B交集的真子集，列出关于a的不等式，求出解集中的正整数解即可．

解答：解：（1）根据二次根式的定义及分母不为0得到x＞0，所以集合A=（0，+∞）；根据

1

2

＜1得到对数函数为减函数，再根据对数函数的定义得到0＜x＜

1

2

，所以集合C=(0，

1

2

)，
所以A∩C=(0，

1

2

)
（2）在集合B中，由ax-1＜0，解得x＜

1

a

，所以B=(-∞，

1

a

)?a∈N*
∴A∩B=(0，

1

a

)
∵C?A∩B
∴

1

a

＞

1

2

，又a＞0
∴0＜a＜2，a∈N^*
∴a=1

点评：本题属于以对数函数的定义域、值域及二次根式的定义为平台，考查了交集及其运算、集合间的包含关系的应用，是一道中档题．