Question

（2013•绵阳二模）已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）
（I ）求g（x）=

f(x+1)

x+1

-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；
（II ）任取两个不等的正数x₁，x₂，且x₁＜x₂，若存在x₀＞0使f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

成立，求证：x₁＜x₀＜x₂
（III）己知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（1+

1

2n

）a_n+

1

n2

（n∈N₊），求证：a_n＜e

11

4

（e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）求出f（x+1），代入g（x），对函数g（x）求导后利用导函数的符号求出函数g（x）在定义域内的单调区间，从而求出函数的极大值；
（Ⅱ）求出f^′（x₀），代入f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

后把lnx₀用lnx₁，lnx₂表示，再把lnx₀与lnx₂作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最大值小于0，从而得到lnx₀＜lnx₂，运用同样的办法得到lnx₁＜lnx₀，最后得到要证的结论；
（Ⅲ）由给出的递推式a_n+1=（1+

1

2n

）a_n+

1

n2

说明数列{a_n}是递增数列，根据a₁=1，得到a_n≥1，由此把递推式a_n+1=（1+

1

2n

）a_n+

1

n2

放大得到lnan+1≤lnan+ln(1+

1

2n

+

1

n2

)，结合（Ⅰ）中的ln（1+x）＜x得到lnan+1＜lnan+

1

2n

+

1

n2

，分别取n=1，2，3，…，n-1，得到n个式子后累加即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））．
∴f（x+1）=（x+1）ln（x+1）（x∈（-1，+∞））．
则有g(x)=

f(x+1)

x+1

-x=

(x+1)ln(x+1)

x+1

-x=ln（x+1）-x，
此函数的定义域为（-1，+∞）．
g′(x)=

1

x+1

-1=-

x

x+1

．
故当x∈（-1，0）时，g^′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，g^′（x）＜0．
所以g（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞），
故g（x）的极大值是g（0）=0；
（Ⅱ）证明：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）），得f^′（x）=lnx+1，
所以lnx0+1=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，
于是lnx0-lnx2=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

-lnx2-1=

x2lnx2-x1lnx1

x2-x1

-lnx2-1
=

x1lnx2-x1lnx1

x2-x1

-1=

ln x2 x1

x2 x1 -1

-1，
令

x2

x1

=t（t＞1），则h(t)=

lnt

t

-1=

ln-t+1

t-1

，
因为t-1＞0，只需证明lnt-t+1＜0．
令s（t）=lnt-t+1，则s′(t)=

1

t

-1＜0，
∴s（t）在t∈（1，+∞）上递减，所以s（t）＜s（1）=0，
于是h（t）＜0，即lnx₀＜lnx₂，故x₀＜x₂．
同理可证x₁＜x₀，故x₁＜x₀＜x₂．
（Ⅲ）证明：因为a₁=1，an+1=(1+

1

2n

)an+

1

n2

＞an，所以{a_n}单调递增，a_n≥1．
于是an+1=(1+

1

2n

)an+

1

n2

≤(1+

1

2n

)an+

1

n2

an=(1+

1

2n

+

1

n2

)an，
所以lnan+1≤lnan+ln(1+

1

2n

+

1

n2

)（*）．
由（Ⅰ）知当x＞0时，ln（1+x）＜x．
所以（*）式变为lnan+1＜lnan+

1

2n

+

1

n2

．
即lnak-lnak-1＜

1

2k-1

+

1

(k-1)2

（k∈N，k≥2），
令k=2，3，…，n，这n-1个式子相加得
lnan-lna1＜(

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

)+[

1

12

+

1

22

+…+

1

(n-1)2

]
＜

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

+[1+

1

4

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-2)(n-1)

]
=(1-

1

2n-1

)+[1+

1

4

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-2

-

1

n-1

)]
=(1-

1

2n-1

)+(1+

1

4

+

1

2

-

1

n-1

)
=

11

4

-

1

2n-1

-

1

n-1

＜

11

4

．
即lnan＜lna1+

11

4

=

11

4

，
所以an＜e

11

4

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了通过构造函数，利用函数的单调性和极值证明不等式，训练了累加法求数列的通项公式，考查了利用放缩法证明不等式，是一道难度较大的综合题型．