Question

通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：f（t）=

-t2+24t+100，0＜t≤10 240，10＜t≤20 -7t+380，20＜t≤40

．
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

Answer 1

分析：（1）分类讨论：①当0＜t≤10时，②当20＜t≤40时，分别求出各段上函数的最大值，从而得出讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中；
（2）欲比较讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟，何时学生的注意力更集中，只须分别求得函数值f（5）和f（25）比较它们的大小即可；
（3）分两种情形：①当0＜t≤10时，②当20＜t≤40时，函数值为180对应的t值，则可计算出学生注意力在180以上所持续的时间
即可看出是否经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．

解答：解：（1）当0＜t≤10时，f（t）=-t²+24t+100
=-（t-12）²+244是增函数，且f（10）=240；
当20＜t≤40时，f（t）=-7t+380是减函数，
且f（20）=240．
所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟．
（2）f（5）=195，f（25）=205，
故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．
（3）当0＜t≤10时，f（t）=-t²+24t+100=180，则t=4；
当20＜t≤40时，令f（t）=-7t+380=180，
t≈28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间
28.57-4=24.57＞24，
所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．

点评：构造二次函数模型，函数解析式求解是关键，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．