Question

【题目】如图，海岸公路MN的北方有一个小岛A（大小忽略不计）盛产海产品，在公路MN的B处有一个海产品集散中心，点C在B的正西方向10处，，，计划开辟一条运输线将小岛的海产品运送到集散中心.现有两种方案：①沿线段AB开辟海上航线：②在海岸公路MN上选一点P建一个码头，先从海上运到码头，再公路MN运送到集散中心.已知海上运输、岸上运输费用分别为400元/、200元/.

（1）求方案①的运输费用；

（2）请确定P点的位置，使得按方案②运送时运输费用最低？

Answer 1

【答案】（1）20000元；（2）P在点B正西方向千米.

【解析】

（1）利用正弦定理求得，即可求得费用；

（2）设，总费用，利用导函数求解最值即可得解.

（1），在钝角三角形ABC中，，

，

由正弦定理可得，，

所以方案①的运输费用为400×50=20000元；

（2）由（1）可得点A到公路所在直线的距离为，设，

易得

则总费用，

，

，，

当，

所以，单调递减，

，单调递增，

所以当时，

取得最小值为，

此时.

所以P在点B正西方向千米.