Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁．
（2）求证：AC⊥BC₁；
（3）求直线B₁D与平面CBB₁C₁所成角的正玄值．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面垂直的性质定理即可证明；
（3）先作出线面角，进而求出即可．

解答：证明：（1）连接BC₁、CB₁，相较于点O，则BO=OC₁．
又∵点D是AB的中点．∴OD∥AC₁．
∵OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁．
∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）∵AC=3，AB=5，BC=4，
∴AB²=AC²+CB²，
∴∠ACB=90°，∴AC⊥CB；
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴CC₁⊥AC，
又∵CC₁∩CB=C，
∴AC⊥平面CBB₁C₁，
∴AC⊥BC₁．
（3）取CB的中点E，连接DE、EB₁．
则DE∥AC，DE=

1

2

AC=

3

2

．
∵AC⊥平面CBB₁C₁，
∴DE⊥平面CBB₁C₁，
∴∠DB₁E是直线DB₁与平面CBB₁C₁所成的角．
在Rt△BB₁E中，B₁E=

22+42

=2

5

．
∴DB1=

( 3 2 )2+(2 5 )2

=

89

2

．
∴sin∠DB₁E=

DE

DB1

=

3 89

89

．

点评：熟练掌握线面平行、垂直的判定定理与性质定理和线面角的定义是解题的关键．