Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C₂的极坐标方程为θ=

π

6

(ρ∈R)，曲线C₁，C₂相交于点M，N．
（1）将曲线C₁，C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求线段MN的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由ρ=4sinθ得ρ²=4ρsinθ，根据极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线C₁的直角坐标方程，同理求得得曲线C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）把两曲线的方程联立方程组求出  M、N 的坐标，即可求得|MN|的值．

解答：解：（Ⅰ）由ρ=4sinθ得，ρ²=4ρsinθ，即曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²-4y=0，
由θ=

π

6

(ρ∈R)得曲线C₂的直角坐标方程为y=

3

3

x．…（5分）
（Ⅱ）把y=

3

3

x代入x²+y²-4y=0得x2+

1

3

x2-

4 3

3

x=0，即

4

3

x2-

4 3

3

x=0．
解得x₁=0，x2=

3

，所以y₁=0，y₂=1，故 M、N 的坐标分别为 （0，0）、（

3

，1）．
故|MN|=

3+1

=2．…（10分）

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两曲线的交点的坐标，属于基础题．