Question

已知函数f(x)=lnx，g(x)=

a

x

(a＞0)，设F(x)=f(x)+g(x)．
（I）求函数F（x）的单调区间；
（II）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）的图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

3

恒成立，求实数a的最小值；
（III）是否存在实数m，使得函数y=g(

2a

x2+1

)+m-1的图象与函数y=f（1+x²）的图象恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）先求出其导函数，根据导函数的正负即可求出其单调区间；
（II）先把问题转化为F'（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

3

恒成立；再结合二次函数即可求出结论；
（III）先根据条件把问题转化为m=ln（1+x²）-

1

2

x²-

1

2

有四个不同的根；求出其导函数，找到其极值点，根据极值即可得到结论．

解答：解：（I）∵f(x)=lnx，g(x)=

a

x

(a＞0)，设F(x)=f(x)+g(x)．
∴F'（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，（x＞0）；
∵x＞0；
所以：F'（x）＞0⇒x＞a．
∴F（x）在（a，+∞）上递增；
 F'（x）＜0⇒0＜x＜a，
 F（x）在（0，a）上递减．
所以：函数F（x）的单调增区间为（a，+∞），单调减区间为（0，a）．
（II）因为：F'（x）=

x-a

x2

 （0＜x≤3），
则k=F'（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

3

恒成立；
即a≥-

1

3

x02+x₀在（0，3]上恒成立，
当x₀=

3

2

时，-

1

3

x02+x₀取最大值

3

4

，
∴a≥

3

4

．
即a的最小值为

3

4

．
（III）y=g(

2a

x2+1

)+m-1=

1

2

x²+m-

1

2

的图象与函数y=f（1+x²）=ln（1+x²）的图象恰有四个不同的交点，
即，

1

2

x²+m-

1

2

=ln（1+x²）有四个不同的根，亦即m=ln（1+x²）-

1

2

x²-

1

2

有四个不同的根；
令G（x）=ln（1+x²）-

1

2

x²-

1

2

；
则G'（x）=

2x

x2+1

-x=

2x-x3-x

x2+1

=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

；
当x变化时，G'（x），G（x）的变化情况如下表，

由表格知，G（x）的极小值G（0）=

1

2

，G（x）的极大值G（1）=G（-1）=ln2＞0．
∴m∈（

1

2

，ln2），y=G（x）与y=m恰有四个不同的交点，
即当m∈（

1

2

，ln2）时，函数y=g(

2a

x2+1

)+m-1的图象与函数y=f（1+x²）的图象恰有四个不同的交点．

点评：本题主要考察了应用导数求函数的单调区间，极值，最值，以及恒成立问题的判断．