Question

【题目】设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2 ， 其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}
（1）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（2）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0， ＞0，

故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，

因此区间I=（0， ），区间长度为 ；

（2）解：设d（a）= ，则d′（a）= ，

令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，

故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减，

因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，

而 = ＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），

因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值 ，即I长度的最小值为 ．

【解析】（1）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；（2）由（1）构造函数d（a）= ，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．
【考点精析】本题主要考查了基本求导法则和解一元二次不等式的相关知识点，需要掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边才能正确解答此题．