Question

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=

3x

9x+1

-

1

2

，
（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）求不等式f(x)＞

1

3

的解集．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义，设x₁＜x₂＜0，通过作差，变形，判号证明f（x₁）＜f（x₂），即可
（2）当x≤0时f（x）=

1

3x+ 1 3x

，运用均值定理，先求出当x≤0时函数f（x）的值域，再利用对称性得y=f（x）的值域
（3）由（2）知，不等式f(x)＞

1

3

?

1

3

＜f(x)＜

1

2

，将f（x）中的3^x看成整体，转化为一元二次方程求解，再解指数不等式即可得所求解集

解答：解：（1）设x₁＜x₂＜0，则3x1＜3x2，3x1+x2＜1
∵f(x1)-f(x2)=

3x1

9x1+1

-

3x2

9x2+1

=

3x1+2x2+3x1-32x1+x2-3x2

(9x1+1)(9x2+1)

=

(3x1-3x2)(1-3x1+x2)

(9x1+1)(9x2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），即y=f（x）在（-∞，0）上是增函数．   
（2）∵0＜

3x

9x+1

=

1

3x+ 1 3x

≤

1

2

，
∴当x≤0时，f(x)=

3x

9x+1

-

1

2

∈(-

1

2

，0]；             
∵当x＞0时，f(x)=

1

2

-

3x

9x+1

∈(0，

1

2

)．       
综上得 y=f（x）的值域为 (-

1

2

，

1

2

)．            
（3）∵f(x)∈(-

1

2

，

1

2

)，
又∵f(x)＞

1

3

，∴f(x)∈(

1

3

，

1

2

)，此时f(x)=

1

2

-

3x

9x+1

单调递增，
∵f(1)=

1

5

＜

1

3

，∴f(x)∈(

1

3

，

1

2

)时，x＞1⇒3^x＞3．
令

1

2

-

3x

9x+1

＞

1

3

，
即

3x

9x+1

＜

1

6

⇒32x-6•3x+1＞0⇒3x＞3+2

2

⇒x＞log3(3+2

2

)，
∴不等式f(x)＞

1

3

的解集是(log3(3+2

2

)，+∞)．

点评：本题考查了函数奇偶性与单调性的定义及运用，利用函数的单调性和对称性解不等式、求值域的方法，解题时要特别利用对称性，提高解题速度